векторов
а и
b,
Скаляр, равный произведению длин этих векторов и косинуса угла между ними; обозначается (
а, b)
(или
ab)
. Например, работа постоянной силы
F вдоль прямолинейного пути
S равна (
F,
S). Свойства С. п.: 1) (
а, b)
= (
b, а), 2) (α
а,
b) = α(
а, b) (α - скаляр), 3) (
a,
b +
c)
= (
a, b) + (
а,
с), 4) (
a,
a) > 0, если
а ≠ 0, и (
а,
а) = 0, если
а = 0.
Длина вектора
а равна
. Если (
а, b) = 0, то либо
а = 0, либо
b = 0, либо
a ⊥
b. Если
а = (
a1, a2, a
3) и
b = (
b1, b2, b
3), то (
а, b)
= a1 b1 + a2b2 +
a3b3 (в прямоугольных декартовых координатах). Понятие "С. п." обобщают на
n-мерные векторные пространства (См.
Векторное пространство)
, где равенство (
а, b) =
принимают за определение С. и. и с помощью так определённого С. п. вводят геометрическое понятия длины вектора, угла между векторами и т. д. Бесконечномерное
Линейное пространство, в котором определено С. п. и выполнена аксиома полноты относительно нормы
(см.
Полное пространство)
, называют гильбертовым пространством (См.
Гильбертово пространство)
. Гильбертовы пространства играют важную роль в функциональном анализе и квантовой механике. Для векторных пространств над полем комплексных чисел условие 1) заменяют условием (
а, b)
= и С. п. определяют как
.